シミュレーションの手法である陽解法について検索すると、簡単ではあるが「精度、安定性、計算能率が悪い」方法とする解説が多いが、 私は陽解法の効果的な事例に多く出会っているので、陽解法のために残念に思っている。

そもそも何が陽解法かということから論じるべきかも知れない。 例えば、既存のある サイト（国立天文台） を信じるなら、時間微分的変量 E と、その時間積分（例えば加速度に対する速度、あるいは速度に対する位置）Q とが存在する場合、次の２つの場合

1. Q_n, E_n → Q_n+1
2. Q_n-1, E_n → Q_n+1

今、バネ定数 k のバネ（片端は固定）に支えられた質量 M の一次元振動を考える（上下には動かず、左右にのみ動く）。


位置を r （安定点をゼロ）、その速度を v 、加速度を a とする。関係式は、

　　　r = ∫ v dt
　　　a = -(k/M) r
　　　v = ∫ a dt

差分化すると、

　　　r_n = r_n-2 + 2 Δt v_n-1
　　　a_n = -(k/M) r_n
　　　v_n+1 = v_n-1 + 2 Δt a_n

番号の付け方は、例えば n を偶数とし、r と a については偶数番のみ、v については、奇数番のみを有効とする。 そうでない系列（r と a について奇数番、v について偶数番）を並行させても良いが、両系列の微妙な不一致のため、細かな振動が残るように見えてしまうことがある。 過去の 記事 でこれを並行させたときには、（両系列に連携がある）連続体だったので同じ問題は起こらなかった （と言うか、ずれがあれば振動が残るのが当然という条件だった）。

添え字が連番ではない上の式が気持ち悪いという向きには、次のように書くこともできる。

　　　r_n = r_n-1 + Δt w_n-1
　　　a_n = -(k/M) r_n
　　　w_n = w_n-1 + Δt a_n

ここで、w_n は、v_n+0.5 とも読み替えるべきものである。 w_n-1 は、v_n-0.5 と読み替えられる。 これらの式で Δt は例えば、これらの式の r_n から r_n+1 までの時間間隔に相当する。

このような陽解法で求められる周期運動は安定であり、そのことには明確な理由がある。 各変数の因果関係は下の図のように要約されるが、ここで、過去から未来に向かっている赤い矢印のみ反転させ、 （過去から未来でなく）未来から過去に向かう逆計算が正確にできる。 現象は時間に対して対称なので、たとえば振動現象は、未来、過去のどちらの方向にも、増大も減少もせず維持される。 ただし、この事例ではそうであるとしても、順方向も含め、簡単に計算できるかどうかは、実は場合によるかも知れない。

今回のウェブプログラムは、支点、質量、（縮まない）竿から成る振子である。

　　　θ_n = θ_n-1 + Δθ_n-0.5
　　　Δθ_n+0.5 = Δθ_n-0.5 - A sin(θ_n)
　　　A = G Δt²/R

「move」のチェックを外した状態で第一のスクロールバーを動かすと、初期状態を設定できる。 第二のスクロールバーで、時間の荒さを変えられる。 初期速度はゼロ（ Δθ_0.5 = - A sin(θ₀)/2 ）としているので、正確な計算では頂点を越えることはないはずだが、初期位置が高く時間間隔が荒い場合、（誤差により）越えてしまうこともある。 ただし、越えるような条件でないときは、長時間になっても越えず、また、振動が広がることも止むこともなく、ある意味、安定である。